MA3013 Matemáticas avanzadas

C - L  - U: 3-0-8

Requisito: Haber aprobado. MA2002

Equivalencia: No tiene

Programas académicos: 4 ITE05, 5 IMT07

 

 

Intención del curso en el contexto general del plan de estudios

Es un curso de nivel intermedio que tiene la intención de desarrollar en el alumno  su capacidad de abstracción y la habilidad de resolución de problemas. Esto se logrará mediante la exposición a problemas que involucran el análisis de señales mediante transformadas que permiten identificar la composición de sus frecuencias. Recomienda el conocimiento previo de cálculo vectorial.

 

Resultado del Aprendizaje

Como resultado del aprendizaje se espera que el alumno solucione problemas que involucren señales de diverso tipo.

 

Objetivos generales del curso:

Al finalizar el curso el alumno será capaz de:

Aplicar los conocimientos fundamentales sobre variable compleja, transformada de Fourier,  transformada Z que serán utilizados en la interpretación, planteamiento y resolución de problemas específicos de señales y sistemas.

Aplicar los conocimiento de flujo de un campo vectorial a través de una superficie en problemas específicos de campos electromagnéticos.

 

Frases temáticas:

 

TEMAS Y SUBTEMAS DEL CURSO

 

1.       Fundamentos de variable compleja

1.1.       Números complejos

1.2.       Funciones de variable compleja; transformaciones del plano complejo

1.3.       Ecuaciones de Cauchy-Riemann y funciones diferenciables.

1.4.       Series de potencias y funciones analíticas

1.5         Funciones meromorfas y series de Laurent

1.5.       Integración en el plano complejo

1.6.       Teorema de Cauchy y sus aplicaciones en cálculo de residuos

 

2.       Transformada de Fourier

2.1.       Series de Fourier

2.1.1          Forma real de la serie de Fourier

2.1.2            Forma compleja de la serie de Fourier

2.2.         Transformada de Fourier y sus propiedades

2.3.       Transformada inversa de Fourier

2.4         Transformada de Fourier de funciones periódicas

2.5         Aplicación de la transformada de Fourier en el análisis de sistemas físicos haciendo uso de la función de transferencia.

 

3.       Transformada z

3.1.       Caso discreto de la transformada de Laplace: la transformada z

3.2.       Transformada z inversa

3.3.       Convolución discreta

3.4.       Solución de ecuaciones de diferencia usando la transformada z

 

 

4.         Integración de campos vectoriales a través de superficies.

 

 

OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAJE POR TEMA

 

1.       Fundamentos de Variable Compleja.

1.1.       Números complejos.

1.1.1          Conocer el concepto de número complejo.

1.1.2          Representar un número complejo en forma rectangular y forma polar.

1.1.3          Obtener el conjugado de un número complejo.

1.1.4          Realizar operaciones aritméticas con números complejos.

1.1.5          Fórmula de Euler:  

1.1.6          Determinar las raíces ésimas diferentes de un número complejo.

1.2.       Funciones de variable compleja.

1.2.1          Conocer el concepto de función de variable compleja; parte real y parte imaginaria de una función compleja.

1.2.2          Funciones elementales de variable compleja: polinomiales, exponenciales, trigonométricas y logarítmica (rama principal.) y parte real y compleja de esas funciones.

1.3.       Funciones analíticas (holomórfas).

1.3.1          Límite y continuidad.

1.3.2          Diferenciación compleja: funciones holomorfas.  

1.3.3          Ecuaciones de Cauchy-Riemann; condiciones necesarias y suficientes de diferenciabilidad.

1.3.4          Funciones armónicas.

1.4.       Series de potencias.

1.4.1          Convergencia de series de potencias. Disco de convergencia de una serie de potencias de variable compleja. Funciones analíticas y series de potencias.

1.4.2          Singularidades (polos) de funciones meromorfas. Puntos regulares. 

1.4.3          Dada una función holomorfa, obtener la expansión en serie de potencias alrededor de un punto regular. Énfasis en funciones racionales.

1.4.4          Series de Laurent. Desarrollo de una función holomorfa en serie de Laurent alrededor de un polo.

1.5.       Integración en el plano complejo.

1.5.1          Definir la integral de línea de una función compleja a lo largo de una curva suave en el plano complejo.

1.5.2          Evaluar las integrales de funciones elementales de variable compleja sobre una trayectoria.

1.5.3          Teorema de Cauchy.

1.5.4          Aplicar el teorema de Cauchy para evaluar integrales de variable compleja sobre trayectorias cerradas.

1.5.3          Teorema del residuo y su aplicación para integrar funciones racionales a lo largo de trayectorias cerradas que no contengan los polos.

 

2.       Serie y transformada de Fourier

2.1.       Series de Fourier.

2.1.1          Forma real de una serie de Fourier.

2.1.1.1    Funciones periódicas.

2.1.1.2    Serie de Fourier de una función periódica de período T y las condiciones que debe satisfacer una función periódica que debe satisfacer una función periódica para que pueda ser representada por medio de una serie de Fourier.

2.1.1.3    Ortogonalidad de las funciones senos y cosenos.

2.1.1.4    Determinación de los coeficientes de Fourier de una función periodica de período T.

2.1.1.5    Calcular la serie de Fourier de una función periódica de periodo T.

2.1.1.6    Relacionar la serie de Fourier de una función periódica en su forma rectangular con el espectro de la señal.

2.1.1.7    Teorema de Parseval: mejor aproximación en energía de una señal “física” por medio de armónicas.

2.1.2          Forma compleja de la serie de Fourier.

2.1.2.1    Deducir la forma compleja de una serie de Fourier real  a partir de la fórmula de Euler.  

2.1.2.2    Obtener la serie de Fourier de una función periódica en su forma compleja.

2.1.2.3    Relacionar la serie de Fourier de una señal periódica en su forma compleja con el espectro de la señal.

2.1.1.4    Teorema de Parseval: mejor aproximación en energía de una señal “física” por medio de armónicas.

 

2.2.       Transformada de Fourier y sus propiedades.

2.2.1          Introducir el concepto de transformada de Fourier de una función de variable real y transformada inversa.

2.2.2          Utilizar la definición de la transformada de Fourier para obtener la transformada de funciones continuas.

2.2.3          Deducir las propiedades de la transformada de Fourier.

2.2.4          Definir la función escalón unitario, función rampa  y obtener sus transformadas de Fourier.

2.2.5          Principio de superposición. Principio de dualidad. “Time scaling theorem”. “Time shift theorem”. Convolución y correlalación: Teorema de Wiener-Khintchine.

2.2.6          Utilizar las propiedades de la transformada de Fourier para determinar transformadas de funciones nuevas utilizando la transformada de funciones conocidas previamente.

2.2.7          Introducir la función (generalizada) Delta de Dirac y su transformada de Fourier.

2.2.8          Aplicación de la transformada de la Delta de Dirac a funciones con desfasamiento en el tiempo.

2.2.9          Utilizar la función Delta de Dirac y las propiedades de la transformada de Fourier para determinar transformadas que no pueden ser obtenidas directamente con la definición (por ejemplo, funciones que no son absolutamente integrables).

2.2.10      Utilizar la transformada de la función escalón unitario y las propiedades de la transformada de Fourier para determinar la transformada de otras funciones.

2.3.       Transformada inversa de Fourier.

2.3.1          Utilizar la integral de inversión para determinar la transformada inversa de Fourier.

2.3.2          Utilizar las propiedades de la transformada de Fourier para determinar transformadas inversas que no se pueden obtener con la integral de inversión.

2.4   Transformada de Fourier de funciones periódicas.

2.4.1          Obtener la transformada de Fourier de una función periódica.

2.5   Aplicación de la Transformada de Fourier en el análisis de sistemas físicos haciendo uso de la función de transferencia.

2.5.1          Resolver modelos de sistemas físicos mediante la transformada de Fourier.

2.5.2          Conocer el concepto de función de transferencia.

2.5.3          Determinar la función de transferencia de un sistema físico.

2.5.4          Utilizar la función de transferencia para determinar la respuesta de un sistema físico a una excitación dada.

 

3.       Transformada z

3.1.       Caso discreto de la transformada de Laplace: la transformada z.

3.1.1          Conocer el concepto de funciones discretas en el tiempo.

3.2.       Transformada z inversa

3.2.1          Conocer la transformada z de una función discreta.

3.2.2          Determinar la transformada z de una función discreta.

3.2.3          Conocer las propiedades de la transformada z.

3.2.4          Utilizar las propiedades de la transformada z para determinar la transformada z de funciones nuevas tomando como base funciones conocidas previamente.

3.3.       Convolución discreta.

3.2.5          Conocer el concepto de convolución discreta.

3.2.6          Determinar la transformada z de una convolución discreta.

3.4.       Solución de ecuaciones de diferencia usando la transformada z.

3.2.7          Utilizar la transformada z para resolver una ecuación de diferencias.

3.2.8          Determinar la función de transferencia de un sistema discreto.

4.       Integración de campos vectoriales a través de superficies

4.1.       Superficies paramétricas

4.2.       Área de una superficie paramétrica suave

4.3.       Integral de una función sobre una superficie parametrizada.

4.4.       Teorema de Stokes; campos conservativos.

4.5.       Teorema de la divergencia; aplicaciones.

 

METODOLOGÍA SUGERIDA Y ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

 

En este curso se sugiere emplear la metodología de resolución de problemas combinada con la técnica expositiva haciendo énfasis en la utilización de los conceptos para resolver problemas.

 

TIEMPO ESTIMADO DE CADA TEMA

 

Tema 1             14 horas

Tema 2             12 horas

Tema 3             12 horas

Tema 5              10 horas

Total

 

POLITICAS DE EVALUACION SUGERIDAS

 

Primer examen parcial                                       20%

Segundo examen parcial                                   20%

Tercer examen parcial                                       20%

Examen final                                                     30%

Tareas y proyectos                                            10%

 

 

BIBLIOGRAFÍA.

 

Libro(s) de texto.

 “Advanced Engineering Mathematics”, 5th ed.

Autor:               Peter V. O’Neil

Editorial:           Thomson Brooks/Cole

ISBN:                0-534-40130-9

 

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería y Ciencias

Autor:               Murray R. Spiegel

Editorial:           McGraw Hill

ISBN:                9701029852

 

 

Libro(s) de consulta.

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Tomos I y II

Autor:               Erwin Kreyszig

Editorial:           Limusa Noriega

Edición:                        3ª.

ISBN:                9681853105 y 9681853113

 

Matemáticas Superiores para Ingeniería

Autor:               C. Ray Wylie

Editorial:           McGraw Hill

Edición:                        4a.

ISBN:                9701004698

 

 

PERFIL DEL PROFESOR.

Profesor con maestría en matemáticas.