MA1000. Estadística I

C - L  - U: 3-0-8

Requisito: Haber aprobado MA00816

Equivalencia: MA00831, MA95831

Programas académicos:  3 LEC04, 3 LEC07, LAF07

 

 

Intención del curso en el contexto general del plan de estudios

Desarrollar en el alumno su capacidad de abstracción y la habilidad de resolución de problemas, mediante la exposición a situaciones que involucran incertidumbre, expresándolos y explicándolos en términos de probabilidad o estadística y a partir de esto encontrar la solucione de los mismos.

 

Resultado del Aprendizaje

Como resultado del aprendizaje se espera que el alumno ser capaz de utilizar los conceptos de probabilidad y estadística para resolver problemas prácticos.


Objetivos generales:

  • Reconocer a la estadística como una ciencia cuya metodología permite evaluar y juzgar discrepancias entre la realidad y los modelos matemáticos propuestos para su explicación.
  • Capacitarse en el manejo sistemático de fenómenos que involucran variaciones aleatorias así como, desarrollar un pensamiento crítico para entender las posibilidades y limitaciones de la investigación experimental.

Frases temáticas:

  • Estadística descriptiva.
  • Elementos básicos de probabilidad.
  • Distribuciones y densidades de probabilidad.
  • Esperanza matemática.
  • Distribuciones discretas.
  • Distribuciones continuas.
  • Intervalos de confianza
  • Pruebas de hipótesis

 Temas y subtemas:

1         ESTADISTICA DESCRIPTIVA

1.1   Muestra aleatoria

1.2   Representación tabular y gráfica de datos

1.3   Estadísticos muestrales

2         ELEMENTOS BASICOS DE PROBABILIDAD

2.1   Interpretaciones de la probabilidad

2.2   Espacio muestra y eventos

2.3   Principio multiplicativo y técnicas de conteo

2.4   Leyes generales de probabilidad

2.5   Probabilidad condicional

2.6   Independencia

2.7   Teorema de Bayes

3         DISTRIBUCIONES Y DENSIDADES DE PROBABILIDAD

3.1   Variables aleatorias discretas y continuas

3.2   Función masa de probabilidad

3.3   Función de densidad de probabilidad

3.4   Valor esperado y varianza variables aleatorias

3.5   Teorema de Chebyshev

4         DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

4.1   Uniforme discreta

4.2   Bernoulli

4.3   Binomial

4.4   Binomial Negativa y Geométrica

4.5   Hipergeométrica

4.6   Poisson

4.7   Multinomial

5         DENSIDADES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

5.1   Uniforme continua

5.2   Gamma, Exponencial y ji-cuadrada

5.3   Beta

5.4   Normal

6         DISTRIBUCIONES MUESTRALES

6.1   Distribución de la media muestral

6.1   Distribución ji-cuadrada

6.2   Distribución t de student

6.3   Distribución F

7         ESTIMACION POR INTERVALOS

7.1   Intervalos de confianza para la media

7.2   Intervalos de confianza para la varianza

8         PRUEBAS DE HIPOTESIS

8.1   Prueba de una hipótesis estadística

8.2   Tipos de errores y sus probabilidades

8.3   Pruebas para la media

8.4   Pruebas para la varianza

Objetivos específicos de aprendizaje:

1         ESTADISTICA DESCRIPTIVA

1.1   Muestra aleatoria

1.1.1    Definir los conceptos población, muestra, muestra aleatoria y tipos de muestreo probabilístico.

1.2   Representación tabular y gráfica de datos

1.2.1    A partir de un conjunto de datos, construir la tabla de frecuencias absolutas, frecuencias relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas.

1.2.2    Dada la tabla de frecuencias absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas, construir sus gráficas (Histogramas, polígonos de frecuencias y ojivas) con el objetivo de reconocer formas de distribuciones.

1.3   Estadísticos muestrales

1.3.1    A partir de un conjunto de datos no agrupados, calcular:

1.3.1.1    La media aritmética

1.3.1.2    La mediana

1.3.1.3    La moda

1.3.1.4    La desviación media

1.3.1.5    La varianza

1.3.1.6    La desviación estándar

1.3.2    A partir de un conjunto de datos agrupados, calcular:

1.3.2.1    La media aritmética

1.3.2.2    La mediana

1.3.2.3    La moda

1.3.2.4    La varianza

1.3.2.5    La desviación estándar

1.3.3    Dada una variable cuyos valores tienen diferentes pesos, calcular la media ponderada de dicha variable.

1.3.4    Demostrar las siguientes propiedades de la media aritmética:

1.3.4.1    La media de una constante es igual a la constante misma.

1.3.4.2    La media de una constante por una variable, es igual a la constante multiplicada por la media de la variable.

1.3.4.3    La media aritmética de una variable más una constante, es igual a la constante más la media de dicha variable.

1.3.4.4    La suma de las desviaciones de la variable con respecto a su media aritmética es igual a cero.

2         ELEMENTOS BASICOS DE PROBABILIDAD

2.1   Espacio muestra y eventos

2.1.1    Definir experimento aleatorio y determinístico.

2.1.2    Definir espacio muestra de un experimento aleatorio.

2.1.3    Obtener el espacio muestra de un experimento aleatorio dado.

2.1.4    Definir evento o suceso, evento simple, compuesto, evento imposible, evento seguro y ocurrencia de un evento, en un espacio muestra dado.

2.1.5    Dado un evento en forma proposicional, expresarlo en la notación de conjuntos y viceversa.

2.2   Interpretaciones de la probabilidad

2.2.1    Presentar los tres enfoques de la Probabilidad: Intuitivo, de frecuencia relativa y clásico (casos favorables entre casos posibles).

2.2.2    Definir espacio muestra equiprobable.

2.3   Leyes generales de probabilidad

2.3.1    Definir función de probabilidad.

2.3.2    Enunciar y aplicar los axiomas de probabilidad: Si A y B son eventos definidos en el espacio muestra S,

2.3.2.1

2.3.2.2

2.3.2.3

2.3.3    Enunciar, demostrar y aplicar las siguientes propiedades de una función de probabilidad:

2.3.3.1

2.3.3.2

2.3.3.3

2.3.3.4

2.3.3.5

2.3.3.6

2.3.4    Establecer y aplicar la ley de la adición de la probabilidad para n eventos.

2.4   Principio multiplicativo y técnicas de conteo

2.4.1    Enunciar y aplicar el principio fundamental de conteo o principio multiplicativo y utilizar diagramas de árbol para ejemplificarlo.

2.4.2    Establecer y aplicar las técnicas de conteo a través de permutaciones y combinaciones.

2.4.3    Definir coeficientes binomiales y utilizarlos en el teorema del binomio de Newton.

2.4.4    Enunciar y demostrar las siguientes propiedades de los coeficientes binomiales

2.4.4.1

2.4.4.2

2.4.4.3

2.4.5    Definir coeficientes multinomiales y utilizarlos en el teorema del multinomio.

2.4.6    Calcular la probabilidad de un evento considerándolo como la unión de eventos simples disjuntos.

2.4.7    Obtener la probabilidad de eventos que involucren el uso del principio multiplicativo y de diagramas de árbol.

2.5   Probabilidad condicional

2.5.1    Definir probabilidad condicional de un evento.

2.5.2    Resolver problemas que involucren la probabilidad condicional de un evento.

2.5.3    Establecer y aplicar la ley general multiplicativa de la probabilidad para n eventos.

2.6   Independencia

2.6.1    Definir independencia de n eventos.

2.6.2    Dada una colección de eventos, determinar si son o no independientes.

2.6.3    Establecer y aplicar la ley particular multiplicativa de la probabilidad para n eventos (cuando son independientes).

2.7   Teorema de Bayes

2.7.1    Demostrar y aplicar la ley de la probabilidad total.

2.7.2    Demostrar y aplicar el teorema de Bayes.

3          DISTRIBUCIONES Y DENSIDADES DE PROBABILIDAD

3.1   Variables aleatorias discretas y continuas

3.1.1    Definir variable aleatoria.

3.1.2    Definir variable aleatoria discreta.

3.1.3    Definir variable aleatoria continua.

3.2   Función masa de probabilidad

3.2.1    Definir función masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

3.2.2    Obtener la función masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

3.2.3    Enunciar y aplicar el teorema que establece las condiciones necesarias y suficientes para que una función f(x) sea la función masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

3.2.4    Obtener probabilidades de eventos haciendo uso de la función masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

3.2.5    Definir la función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta.

3.2.6    Establecer las propiedades de la función de distribución de probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta:

3.2.6.1

3.2.6.2

3.2.6.3 F(x) es una función no decreciente.

3.2.7          Obtener y graficar la función de probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta, dada su función de probabilidad.

3.2.8          Obtener probabilidades de eventos haciendo uso de la función de distribución acumulada. Enfatizar y utilizar la notación , etc.

3.3   Función de densidad de probabilidad

3.3.1    Definir función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua.

3.3.2    Enunciar y aplicar el teorema que establece las condiciones necesarias y suficientes para que una función f(x) sea la función de densidad de una variable aleatoria continua.

3.3.3    Obtener probabilidades de eventos haciendo uso de la función de probabilidad de una variable aleatoria continua.

3.3.4    Definir la función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua.

3.3.5    Establecer las propiedades de la función de distribución de probabilidad acumulada de una variable aleatoria continua:

3.3.5.1

3.3.5.2

3.3.5.3 F(x) es una función no decreciente.

3.3.5.4

3.3.6    Obtener y graficar la función de probabilidad acumulada de una variable aleatoria continua, dada su función de densidad.

3.3.7    Obtener probabilidades de eventos haciendo uso de la función de distribución acumulada. Enfatizar el hecho de que, para variables aleatorias continuas, y utilizar la notación , etc.

3.4   Valor esperado y varianza variables aleatorias

3.4.1    Definir y obtener el valor esperado de una variable aleatoria.

3.4.2    Definir y obtener el valor esperado de una función de una variable aleatoria.

3.4.3    Enunciar y demostrar las propiedades siguientes del valor esperado:

3.4.3.1

3.4.3.2

3.4.3.3

3.4.3.4

3.4.4    Definir y obtener la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria y de una función de una variable aleatoria.

3.4.5    Enunciar, demostrar y aplicar las siguientes propiedades de la varianza:

3.4.5.1

3.4.5.2

3.4.5.3

3.4.5.4

3.5   Teorema de Chebyshev

3.5.1          Enunciar, demostrar y aplicar el teorema de Chebyshev.

4         DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

4.1   Uniforme discreta

4.1.1    Definir y ejemplificar la distribución uniforme discreta.

4.1.2    Encontrar el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria uniforme discreta. (Sólo para el caso particular en que los valores de la variable son los enteros positivos de 1 a k).

4.2   Bernoulli

4.2.1    Definir y ejemplificar experimento Bernoulli.

4.2.2    Definir y ejemplificar la distribución Bernoulli.

4.2.3    Encontrar el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria Bernoulli.

4.3   Binomial

4.3.1    Definir y ejemplificar experimento binomial.

4.3.2    Definir variable aleatoria binomial como el número de éxitos en n repeticiones independientes de un experimento Bernoulli con la probabilidad de éxito constante.

4.3.3    Deducir la función de probabilidad de una variable aleatoria binomial a partir de su interpretación.

4.3.4    Encontrar el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria binomial.

4.3.5    Utilizar la variable aleatoria binomial para resolver problemas en los cuales se pueda aplicar este modelo.

4.4   Binomial Negativa y Geométrica

4.4.1    Definir variable aleatoria binomial negativa como el número de repeticiones necesarias hasta obtener k éxitos en repeticiones independientes de un experimento Bernoulli con la probabilidad de éxito constante.

4.4.2    Deducir la función de probabilidad de una variable aleatoria binomial negativa a partir de su interpretación.

4.4.3    Encontrar el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria binomial negativa.

4.4.4    Utilizar la variable aleatoria binomial negativa para resolver problemas en los cuales se pueda aplicar este modelo.

4.4.5    Presentar la distribución geométrica como un caso particular de la binomial negativa con k = 1 e interpretarla.

4.5   Hipergeométrica

4.5.1    Definir y ejemplificar experimento hipergeométrico.

4.5.2    Definir variable aleatoria hipergométrica como el número de éxitos en n extracciones sin reemplazo de una población finita.

4.5.3    Deducir la función de probabilidad de una variable aleatoria hipergeométrica a partir de su interpretación.

4.5.4    Encontrar el valor esperado y la varianza de una variable aleatoria hipergeométrica.

4.5.5    Utilizar la variable aleatoria hipergeométrica para resolver problemas en los cuales se pueda aplicar este modelo.

4.6   Poisson

4.6.1    Encontrar la función de probabilidad Poisson como el caso límite de una variable aleatoria binomial cuando n crece y p decrece, de tal forma que sea constante.

4.6.2    Utilizar la variable aleatoria Poisson para el cálculo aproximado de probabilidades de variables aleatorias binomiales cuando n es grande y p pequeña.

4.6.3    Encontrar la media y la varianza de la variable aleatoria Poisson.

4.6.4    Enunciar las características de un Proceso Poisson.

4.6.5    Utilizar los procesos Poisson en problemas de aplicación.

4.7   Multinomial

4.7.1          Definir y ejemplificar experimento multinomial.

5         DENSIDADES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

5.1   Uniforme continua

5.1.1    Definir la variable aleatoria uniforme continua.

5.1.2    Encontrar la media y la varianza de una variable aleatoria uniforme continua.

5.1.3    Resolver problemas en los que se involucre la variable aleatoria uniforme.

5.2   Gamma, Exponencial y ji-cuadrada

5.2.1    Definir la función gamma.

5.2.2    Enunciar y demostrar las propiedades de la función gamma:

5.2.2.1

5.2.2.2

5.2.2.3  cuando n es entero.

5.2.3    Enunciar la propiedad .

5.2.4    Definir la variable aleatoria gamma.

5.2.5    Calcular la media y la varianza de una variable aleatoria gamma.

5.2.6    Presentar la variable aleatoria exponencial como un caso particular de la variable aleatoria gamma.

5.2.7    Demostrar la relación que existe entre la variable aleatoria gamma y un proceso Poisson, cuando α es entero.

5.2.8    Utilizar la variable aleatoria gamma en la solución de problemas en los cuales es apropiado utilizar este modelo.

5.2.9    Definir la variable aleatoria ji-cuadrada como un caso particular de la variable aleatoria gamma.

5.3   Beta

5.3.1    Definir la variable aleatoria beta.

5.3.2    Calcular la media y la varianza de la variable aleatoria beta.

5.3.3    Utilizar la variable aleatoria beta en la solución de problemas en los cuales es apropiado utilizar este modelo.

5.4   Normal

5.4.1          Definir la variable aleatoria normal.

5.4.2          Calcular su media y su varianza.

5.4.3          Definir la variable aleatoria normal estándar.

5.4.4          Demostrar la relación que existe entre una variable aleatoria normal con media μ y varianza y una variable normal estándar.

5.4.5          Utilizar las tablas de la normal estándar para resolver problemas en los cuales es apropiado aplicar el modelo normal.

5.4.6          Demostrar que si X es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p, entonces el , esto es, se aproxima a una normal estándar.

5.4.7          Utilizar el resultado del objetivo anterior para calcular probabilidades aproximadas con la normal, de una variable aleatoria binomial con n grande.

6         DISTRIBUCIONES MUESTRALES

6.1   Distribución de la media muestral

6.1.1    Recordar los conceptos población, muestra y muestra aleatoria.

6.1.2    Recordar los conceptos de media y varianza muestrales.

6.1.3    Encontrar (con calculadora) la media y la varianza de la media muestral.

6.1.4    Demostrar la ley de los grandes números.

6.1.5    Enunciar y demostrar el teorema del límite central.

6.1.6    Utilizar el teorema del límite central para resolver problemas con la media muestral cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

6.1.7    Enunciar y demostrar el teorema que determina la distribución de la media muestral cuando la población de la que proviene la muestra es una población que sigue una distribución normal.

6.1.8    Enunciar y demostrar el teorema que determina la distribución del cuadrado de una variable normal estándar.

6.2   Distribución ji-cuadrada

6.2.1    Enunciar y demostrar el teorema que determina la distribución de una suma de variables ji-cuadradas independientes.

6.2.2    Enunciar el teorema que da la distribución de una variable aleatoria cuando al ser sumada con una ji-cuadrada que es independiente de ella nos da otra ji-cuadrada.

6.2.3    Enunciar el teorema de la independencia de la media y la varianza muestrales de una muestra tomada de una población normal.

6.2.4    Enunciar y demostrar el teorema que determina la distribución de cuando se toman muestras de poblaciones normales.

6.2.5    Resolver problemas en los que se involucra la variable ji-cuadrada.

6.3   Distribución t de student

6.3.1    Encontrar la distribución de la variable  donde X sigue una distribución normal estándar y Y una ji-cuadrada con ν grados de libertad y son variables independientes.

6.3.2    Enunciar y demostrar el teorema que da la distribución de  para muestras de una población normal con media μ y varianza .

6.3.3    Resolver problemas en los que se involucra la distribución t de student.

6.4   Distribución F

6.4.1    Encontrar la distribución de la variable  donde U y V son variables independientes con distribuciones ji-cuadradas con  grados de libertad respectivamente.

6.4.2    Enunciar y demostrar el teorema que da la distribución de  para muestras de poblaciones normales con varianzas  respectivamente.

6.4.3    Resolver problemas en los que se involucra la distribución F.

7         ESTIMACION POR INTERVALOS

7.1   Intervalos de confianza para la media

7.1.1    Definir intervalo de confianza.

7.1.2    Definir coeficiente o nivel de confianza.

7.1.3    Presentar el método del pivote para la construcción de intervalos de confianza.

7.1.4    Construir intervalos de confianza para la media de una población normal con varianza conocida.

7.1.5    Construir intervalos de confianza para la media de una población arbitraria con varianza conocida para n grande a la luz del teorema del límite central.

7.1.6    Construir intervalos de confianza para la media de una población normal con varianza desconocida.

7.2   Intervalos de confianza para la varianza

7.2.1          Construir intervalos de confianza para la varianza de una población normal.

8         PRUEBAS DE HIPOTESIS

8.1   Prueba de una hipótesis estadística

8.1.1    Definir prueba estadística de hipótesis.

8.1.2    Definir hipótesis simple e hipótesis compuesta.

8.1.3    Definir hipótesis nula e hipótesis alternativa.

8.1.4    Definir estadístico de prueba y región de rechazo o región crítica.

8.1.5    Definir pruebas unilaterales y bilaterales.

8.1.6    Determinar la metodología que se utiliza en una prueba de hipótesis.

8.2   Tipos de errores y sus probabilidades

8.2.1    Definir los distintos tipos de errores que se pueden cometer en una prueba de hipótesis.

8.2.2    Definir las probabilidades de error tipo I y error tipo II.

8.2.3    Definir nivel de significancia de una prueba.

8.2.4    Definir p-valor y su aplicación en la toma de decisiones al desarrollar una prueba de hipótesis.

8.2.5    Calcular α, β de una prueba en problemas de pruebas de hipótesis.

8.3   Pruebas para la media

8.3.1    Realizar pruebas de hipótesis concernientes a medias de poblaciones normales con varianza conocida.

8.3.2    Realizar pruebas de hipótesis concernientes a medias de poblaciones arbitrarias con varianza conocida, a la luz del teorema del límite central.

8.3.3    Realizar pruebas de hipótesis concernientes a medias de poblaciones normales con varianza desconocida, para muestras pequeñas.

8.3.4    Realizar pruebas de hipótesis concernientes a medias de poblaciones normales con varianza desconocida, para muestras grandes.

8.4   Pruebas para la varianza

8.4.1    Realizar pruebas de hipótesis concernientes a la varianza de una población normal.

 

 

 

METODOLOGIA SUGERIDA Y ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

 

Se sugiere emplear la metodología de aprendizaje por proyectos, combinada con la técnica expositiva haciendo énfasis en la utilización de los conceptos para resolver problemas prácticos.

 



Técnica didáctica sugerida:
Aprendizaje por proyectos (POL) y resolución de problemas (PBL).

                                                                                     

TIEMPO ESTIMADO DE CADA TEMA

 

Tema 1            5 horas

Tema 2            8 horas

Tema 3            8 horas

Tema 4            6 horas

Tema 5            7 horas

Tema 6           4 horas

Tema 7           3 horas

Tema 8           4 horas

Exámenes       3 horas

Total             48 horas

 

POLITICAS DE EVALUACION SUGERIDAS

 

Primer examen parcial                                      20%

Segundo examen parcial                                  20%

Tercer examen parcial                                      20%

Examen final                                                    30%

Tareas y proyectos                                           10%

 

Bibliografía:

Libro de Texto:

Estadística Matemática con Aplicaciones

John E. Freund y Ronald E. Walpole

            Prentice Hall

 

Libros de consulta:

  • Estadística Matemática con Aplicaciones

Medenhall, Scheaffer y Wackerly

Grupo Editorial Iberoamerica

  • Probability and Statistics for Engineers

Richard L. Scheaffer & Jomes T. McClave

PWS-Kent Publishing Company

  • Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas

Meyer

Fondo Educativo Interamericano

  • Statistics for Management and Economics

A Sytematic Approach

Keller, Warrack and Bartel

Wadsworth Publishing Company

 

PERFIL DEL PROFESOR

Profesor con maestría en matemáticas o estadística o áreas afines.