INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

(3-0-8. Requisito:Haber aprobado Ma00817. 4 LEC03, 4 LEC04.).

Equivalencia: Ma95844.

OBJETIVO GENERAL DE LA MATERIA.

Proporcionar al estudiante la metodología para resolver ecuaciones diferenciales y en diferencias de primer orden, para su aplicación en la determinación de modelos económicos. Además se proporcionan las herramientas de la programación lineal y no lineal para la optimización de funciones sujetas a restricciones.

OBJETIVOS ESPECIFICOS DE APRENDIZAJE POR TEMA.

Unidad I: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

1. Conceptos básicos.

1.1 Definir ecuación diferencial (ordinaria y parcial).

1.2 Definir orden y grado de una ecuación diferencial ordinaria.

1.3 Definir solución de una ecuación diferencial ordinaria.

1.4 Definir solución general y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria.

1.5 Definir problemas con valor inicial para ecuaciones diferenciales de primer orden.

1.6 Identificar y aplicar los conceptos anteriores.

2. Métodos de solución de ecuaciones diferenciales.

2.1 Reconocer y resolver ecuaciones diferenciales de variables separables y reducibles a la forma separable.

2.2 Reconocer y resolver ecuaciones diferenciales exactas.

2.3 Reconocer y resolver ecuaciones diferenciales lineales en una variable.

2.4 Reconocer y resolver ecuaciones diferenciales lineales en una función.

2.5 Reconocer y resolver ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden y primer grado, exactas, de variables separables y reducibles a la forma lineal (de Bernoulli).

3. El enfoque gráfico cualitativo.

3.1 Representar geométricamente, mediante un diagrama de fase, a una ecuación diferencial de primer orden.

3.2 A partir del diagrama de fase de una ecuación diferencial, identificar el tipo de trayectoria de la función.

4. Aplicaciones a la economía.

4.1 Aplicar el manejo y solución de las ecuaciones diferenciales de primer orden en la solución de modelos económicos tales como:

4.1.1 De dinámica de precios de mercado.

4.1.2 De crecimiento de Solow.

4.1.3 Macroeconómico de Domar.

4.1.4 De deuda de Domar.

4.1.5 De ajuste de precios de Evans.

4.1.6 De ingreso-consumo-inversión.

Unidad II: ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE PRIMER ORDEN

1. Conceptos básicos.

1.1 Definir la diferencia de orden k de una función.

1.2 Definir una ecuación en diferencias.

1.3 Definir ecuación lineal en diferencias.

1.4 Definir y reconocer el orden de una ecuación en diferencias.

1.5 Definir solución, solución general y solución particular de una ecuación en diferencias.

1.6 Verificar si una función es solución de una ecuación en diferencias, con condiciones iniciales o de frontera dadas.

2. Reconocer y resolver ecuaciones en diferencias de primer orden con coeficientes constantes.

3. Determinar el comportamiento de la sucesión solución de una ecuación en diferencias de primer orden, con coeficientes constantes.

4. Dada una ecuación lineal en diferencias de primer orden y de coeficientes constantes, determinar, si existe, un valor de equilibrio para Y, la variable dependiente y reconocer si el valor de equilibrio es o no, estable.

5. Aplicaciones.

5.1 Aplicar el manejo y solución de las ecuaciones en diferencias en la solución de modelos económicos tales como:

5.1.1 El modelo de Cobweb.

5.1.2 El modelo de Harrod.

5.1.3 El modelo de consumo.

5.1.4 El modelo de ingreso-consumo-inversión.

5.1.5 El modelo de mercado con inventarios.

Unidad III: PROGRAMACION MATEMATICA

1. Programación lineal.

1.1 Definir el problema general de la programación lineal.

1.2 Reconocer la representación en simbología matemática del problema de programación lineal para optimizar una función lineal sujeta a restricciones lineales.

1.3 Obtener la formulación de un problema de programación lineal (redactado en forma verbal).

2. Solución gráfica.

2.1 Resolver geométricamente problemas de programación lineal que no involucren más de dos variables primarias cuando:

2.1.1 El conjunto solución es cerrado.

2.1.2 Existe solución múltiple.

2.1.3 El conjunto solución no está acotado y si hay solución óptima.

2.1.4 El conjunto solución no está acotado y no existe solución.

3. Método simplex.

3.1 Establecer el método simplex para resolver problemas de programación lineal.

3.2 Aplicar el método simplex para resolver problemas de programación lineal:

3.2.1 Con restricciones de ².

3.2.2 Con restricciones de ² , ³ e = mediante el método de la M grande.

3.3 Interpretar las coeficientes de la tabla óptima simplex.

3.3.1 Reconocer cuando una solución final obtenida por el método simplex corresponde a una solución no factible del problema de programación lineal que se está tratando de resolver.

3.3.2 Reconocer cuando una solución final obtenida por el método simplex corresponde a una solución ilimitada del problema de programación lineal que se está tratando de resolver.

3.3.3 Reconocer cuando una solución obtenida por el método simplex corresponde a una solución degenerada.

3.3.4 Reconocer cuando una solución final obtenida por el método simplex corresponde a una solución múltiple y visualizarlo en una solución gráfica.

4. El dual de un problema de programación lineal.

4.1 Reconocer la representación simbólica del dual de un problema de programación lineal (primal).

4.2 Escribir el dual de un problema dado, de programación lineal.

4.3 Resolver un problema de programación lineal mediante la solución del dual de dicho problema, y discutir en qué casos es más conveniente resolver el problema dual en lugar del primo.

5. Análisis de sensibilidad.

5.1 Explicar en qué consiste el análisis de sensibilidad de un problema de programación lineal.

5.2 Enumerar los siguientes casos, que pueden ser resueltos mediante el análisis de sensibilidad en un problema de programación lineal; cambios en los coeficientes de la función objetivo, cambios en el vector del lado derecho (RHS), cambios en los coeficientes tecnológicos, adición de una nueva restricción al problema original y adición de una nueva variable en el problema original.

5.3 Encontrar el rango dentro del cual pueden variar los coeficientes de la función objetivo sin que cambien las variables que están en la base en la solución óptima.

5.4 Determinar el efecto sobre el valor de la función objetivo y sobre el valor de las variables básicas de un cambio en los coeficientes de la función objetivo original, siempre que este cambio esté dentro del rango en el cual no se afectan las variables que están en la base.

5.5 Determinar el rango permisible de variación en los valores del vector del lado derecho (RHS), para que no cambien las variables que están en la base en la solución óptima.

5.6 Determinar el efecto sobre el valor de la función objetivo y sobre el valor de las variables básicas, de hacer un cambio en los valores del vector del lado derecho (RHS) original, cuando este cambio está dentro del rango en el que no hay cambio de las variables que están en la base en la solución óptima.

5.7 Utilizar un paquete computacional para resolver problemas de programación lineal, encontrando su solución óptima e interpretándola de acuerdo al problema original, además utilizar las opciones que presenta el paquete para efectuar análisis de sensibilidad al problema original y saber interpretar este análisis.

6. Programación no lineal.

6.1 Establecer el problema general de la programación no lineal.

6.2 Resolver geométricamente problemas de programación no lineal.

7. Condiciones de Kuhn-Tucker.

7.1 Establecer, interpretar y comprobar la aplicabilidad de las condiciones de Kuhn-Tucker para la existencia de un extremo relativo de una función a optimizar mediante programación no lineal.

METODOLOGIA SUGERIDA Y ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

En este curso, se puede emplear cualquiera de las metodologías existentes, como la expositiva o la de instrucción personalizada, tratando de enfatizar en las siguientes herramientas metodológicas:

1. Motivar la presentación de un concepto, viéndolo como herramienta para el análisis de un fenómeno en otras áreas del conocimiento.

2. Utilizar cuando sea posible argumentos que puedan ser visuales, algebraicos o numéricos que ayuden a clarificar un concepto o resultado.

3. Promover el trabajo individual o de grupo en el salón de clase, proponiendo la discusión de algún problema o resultado.

4. Proponer trabajos extraclase, ya sea individual o en equipos. Estos trabajo pueden ser resolver ejercicios, proyectos de investigación, o bien asignar algún material de autoestudio.

5. Introducir el uso de la tecnología (filminas, paquetes computacionales, calculadora gráfica, etc.), tanto en el salón de clase como fuera de él.

ACTIVIDADES.

El procedimiento recomendado a los alumnos, para lograr el aprendizaje del material de este curso consiste en:

1. Atender las explicaciones del maestro en el salón de clase y estudiar los temas recomendados por él.

2. Realizar satisfactoriamente las tareas y trabajos individuales y de equipo asignados por el maestro.

3. Revisar periódicamente el material visto en clase y compararlo con la presentación que del mismo se hace en los libros señalados en el texto y bibliografía.

4. Asistir regularmente a asesoría con el maestro, para despejar dudas y reafirmar conceptos.

TIEMPO ESTIMADO POR TEMA.

Sesiones

de Clase

Unidad I: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

DE PRIMER ORDEN

Conceptos básicos. 2

Ecuaciones diferenciales de variables separablesy reducibles

a la forma separable. 3

Ecuaciones diferenciales exactas. 2

Ecuaciones diferenciales lineales en una variable. 1 1/2

Ecuaciones diferenciales lineales en una función. 1 1/2

Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden y primer grado. 2

El enfoque gráfico cualitativo. 1

Aplicaciones a la economía. 5

Subtotal: 18

Unidad II: ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE PRIMER ORDEN

Conceptos básicos. 2

Ecuaciones en diferencias lineales, de primer orden con

coeficientes constantes. 2

 Comportamiento de la sucesión solución de una ecuación

en diferencias. 2

Equilibrio y estabilidad. 1/2

Aplicaciones a la economía. 2 1/2

Subtotal: 9

Unidad III: PROGRAMACION MATEMATICA

Naturaleza de la programación lineal. Formulación de problemas de programación lineal. 3

Solución gráfica. 1

Método simplex. 3

El dual de un problema de programación lineal. 2

Análisis de sensibilidad. 3

Naturaleza de la programación no lineal. 2

Condiciones de Kuhn-Tucker. 2

Subtotal: 16

T O T A L : 43

POLITICAS DE EVALUACION SUGERIDAS.

Aplicar al menos tres exámenes parciales y el examen final. Se sugiere adicionalmente considerar en las políticas de evaluación algunas de las actividades como las siguientes: tareas, proyectos de investigación, participación en clase, etc.

LIBRO(S) DE TEXTO.

Bibliografía Actualizada

Jean Weber

Matemáticas para administración y economía

Harla, Cuarta edición.

LIBRO(S) DE CONSULTA.

Alpha C. Chiang

Métodos fundamentales de economía matemática.

McGraw Hill, Tercera edición.

P. N. Tu

Dynamical systems.

Springer - Verlag.

I. N. Herstein

Algebra lineal y teoría de matrices.

Grupo Editorial Iberoamérica.

M. Braun

Differential equations and their applications.

Springer - Verlag.

MATERIAL Y/O SOFTWARE DE APOYO.

Los recursos disponibles en el Instituto.

PERFIL DEL MAESTRO.

Profesor con maestría en el área de especialidad.

 Fecha de la última actualización: 2 de julio de 2004(M)